Работа посвящена отысканию достаточных условий существования ε-равновесия в смысле кусочно-программных стратегий в антагонистических играх, связанных с нелинейным неавтономным управляемым дифференциальным уравнением в банаховом пространстве и функционалом выигрыша достаточно общего вида. Понятие кусочно-программных стратегий в такой игре вводится на основе понятия вольтерровой цепочки оператора правой части соответствующего интегрального уравнения, управляемого противниками, и соответствующей заданному разбиению отрезка времени. В качестве примера применения абстрактных результатов рассматривается игровая задача, связанная с нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных псевдопараболического типа, описывающим эволюцию электрического поля в полупроводнике.