Рассматривается дифференциальная игра преследования в гильбертовом пространстве. Динамика игры описывается двумя полулинейными эволюционными уравнениями с необязательно ограниченным оператором в гильбертовом пространстве, управляемыми каждое своим игроком. Управления входят линейно в правые части уравнений и подчиняются условиям ограниченности по норме заданными константами. Устанавливаются достаточные условия разрешимости поставленной задачи преследования, как в линейном, так и в нелинейном случае. При этом используются теорема Минти-Браудера, а также цепочечная технология последовательного продолжения решения управляемой системы до промежуточных состояний. В качестве примеров сведения к абстрактному операторному уравнению рассматриваются система уравнений Осколкова и полулинейное волновое уравнение.